Том 60, № 11 (2024)

Для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, возникающего при математическом моделировании процессов криохимического синтеза лекарственных наноформ, исследовано поведение его положительных монотонных решений, а также существование, единственность и свойства решений различных краевых задач с фиксированными и свободными границами.

Для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дискретно распределённого дифференцирования исследована задача Наймарка с краевыми условиями в форме линейных функционалов, охватывающими достаточно широкий класс линейных локальных и нелокальных условий. Получено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости задачи, доказано существование её решения. В терминах специальных функций найдено представление решения исследуемой задачи.

Установлена однозначная разрешимость задачи Коши в полосе для параболической по И.Г. Петровскому системы уравнений второго порядка с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, в пространстве непрерывных и ограниченных вместе с производной первого порядка по пространственной переменной в замыкании полосы функций. Найдено интегральное представление решения задачи, получены соответствующие оценки этого решения.

Для переключаемой аффинной системы, замкнутой стабилизирующей статической обратной связью, представлен метод построения параметрического семейства разбиений пространства состояний, относительно которого данная замкнутая система сохраняет устойчивость.

Исследована задача оптимального выбора параметров системы относительно заданного критерия качества управления. Для сравнения систем с разными значениями параметров введена количественная оценка управляемости, основанная на среднем значении функции, определяющей критерий качества. Для примера рассмотрена упрощённая модель подводного аппарата и изучена задача поиска такого расположения его управляющих винтов, при котором либо время движения, либо энергозатраты аппарата будут минимальными, при этом траектории подводного аппарата генерируются случайным образом. Проведено сравнение энергозатрат и времени движения по этим траекториям систем с разными значениями параметров и показателями.

Исследована задача верификации попадания на целевое множество на конечном отрезке времени состояния линейной управляемой системы дифференциальных уравнений, включающей неопределённость (помеху), на которую наложено геометрическое, поточечное выпуклое ограничение. В случае с двумерным фазовым пространством предложен способ построения множества разрешимости без операции овыпукления, необходимой для вычисления опорной функции геометрической разности множеств. Получено уравнение типа Гамильтона–Якоби–Беллмана, которому удовлетворяет функция расстояния до множества разрешимости.

При численном решении задачи локализации основная проблема состоит в построении универсального сечения, отвечающего данной локализирующей функции. Предложены два метода решения этой проблемы, в которых использованы оценки производных первого и второго порядков. Проведён сравнительный анализ этих методов с методом, основанным на использовании всех узлов регулярной сетки. Он показал, что предложенные методы выигрывают и по вычислительной сложности, и по качеству полученной аппроксимации универсального сечения.

Приведено решение волнового уравнения с тремя пространственными переменными, которое имеет конечный интеграл энергии, однако не стремится на бесконечности к сферической волне.

Ниже публикуются аннотации докладов, состоявшихся в осеннем семестре 2024 г. (предыдущее сообщение о работе семинара дано в журнале “Дифференциальные уравнения”. 2024. Т. 60. № 6).∗∗