APPROXIMATE SOLUTION OF THE INVERSE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SINGULARLY PERTURBED SYSTEM OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The initial boundary value problem for a singularly perturbed system of partial differential equations is considered. The inverse problem is formulated, which consists in determining an unknown boundary condition based on one of the components of the solution given at a fixed point in space. Methods of approximate solution of the inverse problem based on the use of small parameter expansion of the solution of the initial boundary value problem are proposed. Estimates of the accuracy of approximate solutions are obtained. The results of numerical calculations illustrating the accuracy of the proposed methods are presented.

About the authors

A. M. Denisov

Lomonosov Moscow State University

Email: den@cs.msu.ru
Russia

S. I. Solov’eva

Lomonosov Moscow State University

Email: sol@cs.msu.ru
Russia

References

  1. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики : учеб. пособие / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. — 6-е изд., испр. и доп. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1999. — 742 c.
  2. Tikhonov, A.N. and Samarskii, A.A., Equations of Mathematical Physics, London–New York: Pergamon Press, 1963.
  3. Денисов, А.М. Приближённое решение обратных задач для уравнения теплопроводности с сингулярным возмущением / А.М. Денисов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2021. — Т. 61, № 12. — С. 2040–2049.
  4. Denisov, A.M. Approximate solution of inverse problems for the heat equation with a singular perturbation, Comput. Math. Math. Phys., 2021, vol. 61, no. 12, pp. 2004–2014.
  5. Денисов, А.М. Приближённое решение обратной задачи для интегродифференциального уравнения теплопроводности с сингулярным возмущением / А.М. Денисов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2023. — Т. 63, № 5. — С. 702–709.
  6. Denisov, A.M. Approximate solution of an inverse problem for a singularly perturbed integro-differential heat equation, Comput. Math. Math. Phys., 2023, vol. 63, no. 5, pp. 837–844.
  7. Денисов, А.М. Аппроксимация решения обратной задачи для сингулярно возмущённой системы уравнений в частных производных / А.М. Денисов // Дифференц. уравнения. — 2023. — Т. 59, № 6. — C. 746–751.
  8. Denisov, A.M., Approximation of solution of an inverse problem for singularly perturbed system partial differential equations, Differ. Equat., 2023, vol. 59, no. 6, pp. 762–768.
  9. Латтес, Р. Метод квазиобращения и его приложения / P. Латтес, Ж.-Л. Лионс. — М. : Мир, 1970. — 336 c.
  10. Latt`es, R. and Lions, J.-L., M/ethode de Quasi-R/eversibilit/e et Applications, Paris: Dunod, 1967.
  11. Иванов, В.К. Задача квазиобращения для уравнения теплопроводности в равномерной метрике / В.К. Иванов // Дифференц. уравнения. — 1972. — Т. 8, № 4. — С. 652–658.
  12. Ivanov, V.K., Problem of quasi inversion for the heat equation in uniform metric, Differ. Uravn., 1972, vol. 8, no. 4, pp. 643–649.
  13. Самарский, А.А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — 480 c.
  14. Samarskii, A.A. and Vabishchevich, P.N., Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics, Berlin–New York: De Gruyter, 2007.
  15. Короткий, А.И. Численное моделирование обратных ретроспективных задач тепловой конвекции с приложениями к задачам геодинамики / А.И. Короткий, И.А. Цепелев, А.Е. Исмаил-заде // Изв. Урал. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2008. — № 58, вып. 11. — С. 78–87.
  16. Korotkii, A.I., Tsepelev, I.A., and Ismail-zade, A.T., Numerical modeling of inverse retrospective thermal convection problems with applications to geodynamic problems, Izv. Ural. Univ. Ser. Math. Mech. Inform., 2008, no. 58, pp. 78–87.
  17. Табаринцева, Е.В. О решении граничной обратной задачи для параболического уравнения методом квазиобращения / Е.В. Табаринцева, Л.Д. Менихес, А.Д. Дрозин // Вестн. Южно-Урал. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Физика. — 2012. — № 6. — С. 8–13.
  18. Tabarintseva, E.V., Menikhes, L.D., and Drozin, A.D., On solving a boundary inverse problem by the quasiinversion method, Vest. Yuzno-Ural. Gos. Univ. Ser. Mat. Mech. Fiz., 2012, no. 6, pp. 8–13.
  19. Belov, Yu.Ya. Determination of source function in composite type system of equations / Yu.Ya. Belov, V.G. Kopylova // Журн. Сиб. федерал. ун-та. Сер. Математика и физика. — 2014. — Т. 7, № 3. — С. 275–288.
  20. Belov, Yu.Ya. and Kopylova, V.G., Determination of source function in composite type system of equations, J. of Siberian Fed. Univ. Math. & Phys., 2014, vol. 7, no. 3, pp. 275–288.
  21. Денисов, А.М. Численное решение обратных задач для гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной / А.М. Денисов, С.И. Соловьева // Дифференц. уравнения. — 2018. — Т. 54, № 7. — С. 919–928.
  22. Denisov, A.M. and Solov’eva, S.I., Numerical solution of inverse problems for a hyperbolic equation with a small parameter multiplying the highest derivative, Differ. Equat., 2018, vol. 54, no. 7, pp. 900–910.
  23. Lukyanenko, D.V. Asymptotic analysis of solving an inverse boundary value problem for a nonlinear singularly perturbed time-periodic reaction–diffusion–advection equation / D.V. Lukyanenko, M.A. Shishlenin, V.T. Volkov // J. Inverse and Ill posed Problems. — 2019. — V. 27, № 5. — P. 745–758.
  24. Lukyanenko, D.V., Shishlenin, M.A., and Volkov, V.T., Asymptotic analysis of solving an inverse boundary value problem for a nonlinear singularly perturbed time-periodic reaction–diffusion–advection equation, J. Inverse and Ill posed Problems, 2019, vol. 27, no. 5, pp. 745–758.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences