Том 59, № 10 (2023)

Рассматривается оператор типа Дирака с матричными коэффициентами. Устанавливаются оценки для корневых вектор-функций, критерии бесселевости и безусловной базисности в пространстве $L_{2}^{2m}(G),$ $G=(a,b)\subset\mathbb{R}$ -- конечный интервал, систем корневых вектор-функций этого оператора.

Рассмотрены основные начально-краевые (смешанные) задачи для нелинейной системы уравнений одномерной ионизации газа в случае постоянных скоростей атомов газа и возникающих в результате ионизации ионов. Неизвестными в этой системе являются концентрации атомов и ионов. Найдена общая формула достаточно гладкого решения системы. Показано, что смешанные задачи для системы уравнений одномерной ионизации допускают интеграцию в виде явных аналитических выражений. В случае смешанной задачи для конечного отрезка аналитическое решение строится посредством рекуррентных формул, каждая из которых определена в треугольнике, принадлежащем некоторой указанной в работе триангуляции области определения неизвестных функций.

Исследована задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с краевым условием нечётности на границе области эллиптичности. Получены в явной форме все собственные значения и собственные функции. Доказано, что система собственных функций полна в эллиптической части области и неполна во всей области. Также доказана однозначная разрешимость задачи, решение записано в виде ряда для спектрального параметра не равного собственному значению. Для спектрального параметра, совпадающего с собственным значением, получены условия разрешимости, при выполнении которых семейство решений найдено в виде ряда. Получено условие разрешимости задачи в зависимости от собственных значений. Построенные аналитические решения могут быть эффективно использованы при численном моделировании задач трансзвуковой газовой динамики.

Для системы нелинейных уравнений электродинамики рассматривается задача об определении коэффициента проводимости среды, стоящего при нелинейности. Предполагается, что коэффициенты электрической и магнитной проницаемостей постоянны, а проводимость зависит лишь от одной пространственной переменной $x,$ причём эта проводимость равна нулю на полуоси $x < 0.$ Для моды, в которой участвуют только две компоненты электромагнитного поля, рассматривается процесс распространения волн, вызванный падением плоской волны с постоянной амплитудой из области $x < 0$ на неоднородность, локализованную на полупрямой $x\ge0.$ Изучаются условия разрешимости прямой задачи при заданном коэффициенте проводимости и свойства её решения. Для решения обратной задачи задаётся след электрической компоненты решения прямой задачи на конечном отрезке оси $x=0.$ Устанавливается теорема о локальном существовании и единственности решения обратной задачи и находится глобальная оценка условной устойчивости её решений.

Рассматривается задача стабилизации переключаемой интервальной линейной системы с медленными переключениями, недоступными для наблюдения. Решение предлагается искать в классе регуляторов переменной структуры. Для обеспечения работоспособности такого регулятора необходимо построение наблюдателя переключающего сигнала. Настоящая работа посвящена некоторым теоретическим вопросам, связанным с периодом квантования времени работы нейронаблюдателя.

Рассматривается задача для уравнения Бесселя целого порядка с комплексным физическим и спектральным параметрами в граничном условии. Спектральный параметр в граничное условие входит квадратично. Изучается вопрос базисности системы собственных функций в случае появления кратного собственного значения.