Том 59, № 2 (2023)

Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с трёхпозиционной гистерезисной релейной характеристикой и периодической функцией возмущения. Доказана теорема существования колебательного решения с полным обходом характеристики с возможным выходом в зоны её насыщения за некоторое конечное время и с замкнутой фазовой траекторией произвольной формы. Установлены достаточные условия существования периодических решений с произвольной и симметричной фазовыми траекториями, а также условия несуществования периодического решения с симметричной фазовой траекторией. Приведены численные примеры.

Изучены проблема центра и цикличность особых точек системы Куклеса. Необходимые условия центра в начале координат получены как многообразие идеала ляпуновских величин, вычисленных непосредственным решением полиномиальной системы, левые части которой составляют базис Грёбнера идеала. Этот идеал использован также для вычисления цикличности центров и фокусов системы. Доказана теорема, которая позволяет находить цикличность центров полиномиальных систем, используя вместо идеала ляпуновских величин его базис Грёбнера.

Рассматривается параболическое уравнение с одной пространственной переменной с Дини-непрерывными коэффициентами. Для этого уравнения доказывается существование классического фундаментального решения и приводятся оценки. Условие на характер непрерывности старшего коэффициента уравнения является точным для существования фундаментального решения.

Исследуется корректность в пространствах Соболева некоторых аналогов нелокальной задачи Самарского-Ионкина для эллиптических уравнений второго порядка. Для изучаемых задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений -- решений, имеющих все обобщённые по Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение. Изучаются некоторые спектральные задачи для эллиптических уравнений с нелокальным условием Самарского-Ионкина.

Для алгоритма ``супер-скручивания'' приводится новый способ доказательства необходимых и достаточных условий глобальной асимптотической устойчивости. Новый метод основывается на получении полного аналитического решения системы для ``наихудшего'' возмущения и позволяет получить критерий в более простой, полностью вещественной форме, а также найти оценки для наихудшей (мажорирующей) траектории.

Рассмотрен оператор Шрёдингера на плоскости с ограниченным потенциалом $V_1(x)+V_2(y)+\varepsilon W(x,y),$ где $V_1$ -- вещественный потенциал, $V_2$ и $W$ -- финитные комплексные потенциалы, $\varepsilon$ -- малый параметр, в предположении, что нижняя часть спектра одномерного оператора Шрёдингера $\mathcal{H}_1=-{d^2}/{ dx^2}+V_1(x)$ состоит из пары изолированных собственных значений, а существенный спектр оператора $\mathcal{H}_2=-{d^2}/{ dy^2}+V_2(y)$ имеет виртуальный уровень на нижнем крае и спектральную сингулярность внутри. Дополнительно считаем, что происходит определённое наложение собственных значений оператора $\mathcal{H}_1$ с виртуальным уровнем и спектральной сингулярностью оператора $\mathcal{H}_2,$ приводящее к возникновению особого порога в существенном спектре возмущённого оператора, причём возмущение приводит к бифуркации этого порога в собственные значения и резонансы с удвоением кратности. Сценарий бифуркации, описываемый в настоящей работе, качественно отличается от ранее известных.

Исследована разрешимость периодической задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой выделена главная нелинейная часть, являющаяся положительно однородным (порядка больше единицы) отображением, остальная часть называется возмущением. Доказано, что если невозмущённая система уравнений не имеет ненулевых ограниченных решений, то периодическая задача разрешима при любом возмущении тогда и только тогда, когда отлично от нуля вращение положительно однородного отображения на единичной сфере. Полученный результат представляет интерес с точки зрения применения и развития методов нелинейного анализа в теории дифференциальных и интегральных уравнений.