№ 6 (2024)

Полимерный гель рассматривается как смесь, представляющая собой высокоэластичный упругий материал и растворенную в нем жидкость (растворитель). На основе обобщенной модели Муни–Ривлина предложено выражение свободной энергии, описывающее деформационное поведение и термодинамические свойства полимерных гелей. В данной модели полагается, что “константы” Муни–Ривлина зависят от концентрации растворенной в полимере жидкости. Из этого выражения получены определяющие соотношения для тензора напряжений, химического потенциала растворителя и осмотического тензора напряжений. На их основе выполнено экспериментальное исследование деформационных свойств набухших в растворителе сетчатых эластомеров различной химической природы. В частности, изучена зависимость упругих свойств эластомеров от концентрации растворителя и определены параметры, описывающие эту зависимость.

В работе анализируется влияние нелинейного (кубического) внутреннего демпфирования (в модели Кельвина–Фойхта) и кубической нелинейности упругих сил на особенности динамики вращающегося гибкого вала с распределенной массой. Вал моделируется стержнем Бернулли–Эйлера с использованием функции Грина, выполнена дискретизация и сведение задачи динамики вращающегося вала к интегральному уравнению. Выявлено, что в такой системе всегда существует ветвь ограниченных периодических движений (автоколебаний) при закритической скорости вращения. Кроме того, при малом внутреннем демпфировании периодическая ветвь продолжается в докритическую область: при достижении критической скорости реализуется субкритическая бифуркация Пуанкаре–Андронова–Хопфа и существует неустойчивая ветвь периодических движений ниже ветви устойчивых периодических автоколебаний (возникновение гистерезиса при изменении скорости вращения). При увеличении коэффициента внутреннего трения явление гистерезиса исчезает, и при критической скорости вращения возникает мягкое возбуждение автоколебаний вращающегося вала через сверхкритическую бифуркацию Пуанкаре–Андронова–Хопфа.

Проводится анализ устойчивости по Якоби нелинейной динамической системы на основе теории Косамби–Картана–Черна. Вводится геометрическое описание эволюции системы во времени, что позволяет определить пять геометрических инвариантов. Собственные значения второго инварианта (тензора кривизны отклонения) дают оценку устойчивости системы по Якоби. Подход актуален в приложениях, где требуется идентификация областей устойчивости по Ляпунову и по Якоби одновременно. Для нелинейной системы – двойного маятника – исследуется зависимость устойчивости по Якоби от начальных условий. Определены в явном виде компоненты тензора кривизны отклонения, соответствующие рассматриваемым начальным условиям, и собственные значения указанного тензора. Установлена определяемая начальными условиями граница перехода детерминированной системы от регулярного поведения к хаотическому. Предложена формулировка обратной задачи на собственные значения тензора кривизны отклонения, связанная с восстановлением существенных параметров системы. При решении сформулированной обратной задачи используется оптимизационный подход. Приведены численные примеры восстановления параметров системы для случаев ее регулярного и хаотического поведения.

Рассматривается задача о свободных пространственных колебаниях провода воздушной линии электропередачи с несимметричным распределением массы по сечению, обусловленным гололедными отложениями на его поверхности, которые придают сечению несимметричную форму. В результате между центрами крутильной жесткости и массы в сечении образуется эксцентриситет и возникает динамическая связь вертикальных, крутильных и “маятниковых” колебаний с выходом провода из плоскости провисания. Провод моделируется гибким тяжелым упругим стержнем, сопротивляющимся только растяжению и кручению. Исследуется случай слабо провисающего провода, когда натяжение и кривизну его осевой линии можно считать постоянными в пределах пролета. Считается также, что упругость гололедной оболочки мала по сравнению c упругостью провода. Математическая модель строится с учетом взаимодействия продольных, крутильных и поперечных волн, поляризованных в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Проанализированы соотношения фазовых скоростей всех типов волн и выделена группа частных подсистем, определяющих парциальные колебания. Исследованы парциальные и собственные частоты и формы колебаний провода. Получены аналитические решения задачи определения спектра собственных частот и форм пространственных колебаний. Исследовано влияние гололедной оболочки на спектр колебаний провода. Обнаружена зависимость волнового числа крутильных колебаний от частоты, которая определяется не только упруго-инерционным, но также гравитационным фактором, сильно проявляющимся для проводов в длинных пролетах, особенно подверженных пляске (галопированию). Это обстоятельство существенно для анализа феномена пляски с позиций, связывающих возникновение пляски сближением частот крутильных и поперечных мод при обледенении провода. Показано, что соотношение этих частот, вызывающих автоколебательный процесс, оказывается существенно более сложным.

Определяется спектр частот и формы изгибных колебаний прямоугольной пластины, контактирующей с жидкостью или газом. Дается вывод выражения распределенной поперечной нагрузки на пластину, подвижно заделанной по контуру. Поверхности пластины контактируют со средой разной плотности и давления. Среда может быть сжимаемой в процессе деформации поверхности и несжимаемой. Определяется влияние на изгиб взаимодействия среднего давления и изменения кривизны срединной поверхности, а также присоединенной массы газовой среды.

В представляемой работе механика микрополярных упругих тел распространяется на более общие термоупругие среды с целью учета влияния температуры на их механическое поведение. Поскольку термоупругая микрополярная среда проводит тепло, то возникает необходимость включения того или иного механизма теплопроводности в основные соотношения микрополярной термоупругости. Выполнено построение модели термоупругого микрополярного тела CGNII на основе волнового принципа передачи тепла (т.е. теплопроводности второго типа), характеризующейся нулевым внутренним производством энтропии. Все основные уравнения развиваемой теории выводятся из конвенциональных уравнений баланса механики континуума и фундаментального термодинамического неравенства. Определяющие уравнения линейного анизотропного термоупругого микрополярного тела CGNII конструируются с помощью квадратичной энергетической формы. Подробно исследуется случай гемитропной среды, когда компоненты одного из определяющих псевдотензоров четвертого ранга оказываются чувствительными к зеркальным отражениям трехмерного пространства. В терминах трансляционных перемещений, микроповоротов и температурного смещения получена замкнутая система дифференциальных уравнений, предназначенная для решения прикладных задач термомеханики, связанных с волновой передачей тепла в микрополярных упругих средах.