СХОДИМОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА СТЕКЛОВА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАМЭ В ПОЛУЦИЛИНДРЕ С МАЛОЙ ПОЛОСТЬЮ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Исследуется краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуцилиндре, содержащем малую полость. Рассматривается случай, когда упругая, однородная изотропная среда, заполняющая область с малой полостью, жестко сцеплена с боковой границей полуцилиндра и границей малой полости, что соответствует однородному граничному условию Дирихле, а на основании полуцилиндра задано спектральное условие Стеклова. Основной результат состоит в доказательстве теоремы о сходимости собственных элементов такой сингулярно возмущенной краевой задачи к собственным элементам предельной задачи (в полуцилиндре без полости) при стремлении к нулю малого параметра ε > 0, характеризующего диаметр полости. Для доказательства теоремы было введено гильбертово пространство бесконечно дифференцируемых вектор-функций, обладающих конечным интегралом Дирихле по полуцилиндру. В отличие от ситуации с ограниченной областью, в исследуемой краевой задаче условие конечности интеграла Дирихле является существенным, так как оно обеспечивает в целом конечность нормы в введенном пространстве. Ограничение на конечность интеграла Дирихле позволило установить априорные оценки, гарантирующие единственность решений предельной и возмущенной краевых задач и установить эквивалентность норм, необходимую для доказательства существования решения исследуемой сингулярно возмущенной краевой задачи. Библ. 42. Фиг. 1.

Об авторах

Д. Б. Давлетов

Уфимский университет науки и технологий

Email: darbevab@mail.ru
Уфа, Россия

О. Б. Давлетов

Уфимский государственный нефтяной технический университет

Email: davolegus@mail.ru
Уфа, Россия

Р. Р. Давлетова

ПЦК "Математики и информатики"; Уфимский филиал Финансового университета при Правительстве РФ

Email: rtqa189@mail.ru
Уфа, Россия

А. А. Ершов

Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН; Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина

Email: ale10919@yandex.ru
Екатеринбург, Россия; Екатеринбург, Россия

Список литературы

  1. Бочкарёв С.А., Матвеенко В.П. Анализ собственных колебаний цилиндрической оболочки переменной толщины, частично заполненной жидкостью // Тр. ИММ УрО РАН. 2023. Т. 29. № 2. С. 27.
  2. Лекомцев С.В., Матвеенко В.П. Собственные колебания композитных эллиптических цилиндрических оболочек с жидкостью // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24. № 1. С. 71.
  3. Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1 & 2. Basel: Birkhäuser Verlag, 2000.
  4. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
  5. Самарский А.А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов // Докл. АН СССР. 1948. Т. 63. № 6. С. 631.
  6. Днестровский Ю.Н. Об изменении собственных значений при изменении границы областей // Вестн. МГУ. Сер. 1: Математика, механика. 1964. № 9. С. 61.
  7. Swanson С.A. Asymptotic variational formulae for eigenvalues // Canad. Math. Bull. 1963. V. 6. № 1. P. 15–25.
  8. Ozawa S. Singular Hadamard’s variation of domains and eigenvalues of the Laplacian // Proc. Jpn. Acad. Ser. A Math. Sci. 1980. V. 56. P 306–310.
  9. Ozawa S. Singular Hadamard’s variation of domains and eigenvalues of the Laplacian. II // Proc. Jpn. Acad. Ser. A Math. Sci. 1981. V. 57. P. 242–246.
  10. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Об однородных решениях задачи Дирихле во внешности тонкого конуса // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266. № 6. C. 281.
  11. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями // Изв. АН СССР. 1984. Т. 48. № 2. С. 347.
  12. Назаров С.А. Асимптотические разложения собственных чисел задачи Стеклова в сингулярно возмущенных областях // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26. № 2. С. 119.
  13. Chiado Piat V., Nazarov S.A. Steklov spectral problems in a set with a thin toroidal hole // Partial Differential Equations in Applied Mathematics. 2020. V. 1. Article 100007.
  14. Назаров С.А. Пластина Кирхгофа с условиями Винклера-Стеклова на малых участках кромки // Алгебра и анализ. 2024. Т. 36. № 3. С. 165.
  15. Назаров С.А. Вариационный и асимптотический методы поиска собственных чисел под порогом непрерывного спектра // Сиб. матем. ж. 2010. Т. 51. № 5. С. 1086.
  16. Ильин А.М. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием. В кн.: Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.: МГУ, 1981. С. 57–82.
  17. Ozawa S. An asymptotic formula for the eigenvalues of the Laplacian in a Domain with a small hole // Proc. Jpn. Acad. Ser. A Math. Sci. 1982. V. 58. № 1. P. 5–8.
  18. Lanza de Cristoforis M. Asymptotic behavior of the solutions of the Dirichlet problem for the Laplace operator in a domain with a small hole: A functional analytic approach // Analysis (Germany). 2008. V. 28. Iss. 1. P. 63–93.
  19. Lanza de Cristoforis M. Asymptotic behavior of the solutions of a transmission problem for the Helmholtz equation: A functional analytic approach // Math. Meth. Appl.Sci. 2022. V. 45. Iss. 9. P. 5360–5387.
  20. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов // Тр. С.-Петербургского матем. об-ва. 1998. Т. 6. С. 151.
  21. Давлетов Д.Б. Сингулярно возмущенная краевая задача Дирихле для стационарной системы линейной теории упругости // Изв. вузов. Матем. 2008. № 12. С. 7.
  22. Давлетов Д.Б. Асимптотика собственных значений краевой задачи Дирихле оператора Ламэ в трехмерной области с малой полостью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. № 10. С. 1847.
  23. Давлетов Д.Б. Асимптотика собственного значения двумерной краевой задачи Дирихле для оператора Ламе в области с малым отверстием // Матем. заметки. 2013. Т. 93. № 4. С. 537.
  24. Давлетов Д.Б., Давлетов О.Б., Давлетова Р.Р., Ершов А.А. О собственных элементах двумерной краевой задачи типа Стеклова для оператора Ламэ // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьют. науки. 2023. Т. 33. Вып. 1. С. 54.
  25. Borcea J., Shapiro B. Root asymptotics of spectral polynomials for the Lame operator // Comm. Math. Phys. 2007. V. 282. P. 323–337.
  26. Haese-Hill W.A., Hallnas M.A., Veselov A.P. On the spectra of real and complex Lame operators // Symmetry Integrability and Geometry-methods and Applications. 2016. V. 13. № 049. 23 p.
  27. Volkmer H. Eigenvalue problems for Lame’s differential equation // Symmetry Integrability and Geometry-methods and Applications. 2018. V. 14. № 131. 21 p.
  28. Chen Zh., Fu E., Lin Ch. Spectrum of the Lame operator and application, I: Deformation along Reτ=12 // Adv. Math. 2021. V. 383. Article 107699.
  29. Chen Zh., Lin Ch. Spectrum of the Lame operator and application, II: When an endpoint is a cusp // Comm. Math. Phys. 2020. V. 378. P. 335–368.
  30. Nadeem Ya., Ali A. On singularities of solution of the elasticity system in a bounded domain with angular corner points // Math. Meth. Appl. Sci. 2022. V. 45. № 5. P. 3124–3143.
  31. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднения в задачах теории упругости. Л.: изд-во ЛГУ, 1984.
  32. Chechkina A.G., D’Apice C., De Maio U. Rate of convergence of eigenvalues to singularly perturbed Steklov-type problem for elasticity system // Applicable Analysis. 2019. V. 98. № 1–2. P. 32–44.
  33. Назаров С.А. Влияние условий Винклера–Стеклова на собственные колебания упругого весомого тела // Уфимск. матем. ж. 2024. Т. 16. Вып. 1. С. 54.
  34. Gomez D., Nazaro, S.A., Perez M.E. Homogenization of Winkler–Steklov spectral conditions in three-dimensional linear elasticity // Z. Angew. Math. Phys. 2018. V. 69. Article 35.
  35. Давлетов Д.Б., Давлетов О.Б., Давлетова Р.Р., Ершов А.А. Сходимость собственных элементов краевой задачи типа Стеклова для оператора Ламэ // Тр. ИММ УрО РАН. 2021. Т. 27. № 1. С. 37.
  36. Давлетов Д.Б., Кожевников Д.В. Задача типа Стеклова в полуцилиндре с малым отверстием // Уфимск. матем. ж. 2016. Т. 8. № 4. С. 63.
  37. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика (в 10 т). Т. VII. Теория упругости. М.: Физматлит, 2003.
  38. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.
  39. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.
  40. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.
  41. Мазья В.Г. Пространства Соболева. Л.: ЛГУ, 1985.
  42. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2025